Думата е сложно съществително име и се правилно се изписва слято – евростипендия. В мн.ч. – евростипендии, защото е образувано от съкратено прилагателно име (евро < европейски) и съществително име (стипендия).
Примери: 
Попадох документи за евростипендия, но не бях удобрена.
На добрите студенти вече са преведени сумите за евростипендии за летния семестър.